Ejercicios de Matemáticas, Fisica y Quimica

Consideremos un sólido rígido que gira alrededor de un eje. Deseamos calcular su energía cinética , consecuencia del mencionado movimiento de rotación . Como vimos en el post anterior, la energía cinética total de un sistema de partículas es igual a la suma de las energías cinéticas de cada una de las partículas constituyentes: Para calcular esta suma utilizaremos la expresión concreta de las velocidades v i de las partículas de un sólido rígido que gira y, además, trataremos de reescribir el resultado en función de las magnitudes de rotación. El módulo de la velocidad de la partícula i es igual a v i =  ω R i , en donde R i es su distancia al eje de giro . Así: En el último paso hemos utilizado la definición del momento de inercia con relación al eje de giro. Por lo tanto: La energía cinética de rotación alrededor de un eje es igual a la mitad del momento de inercia con respecto a ese eje por la velocidad angular al cuadrado . Se puede apreciar que esta...

En el post anterior encontramos la relación que existe entre el momento angular L de un sistema de partículas y el momento total M de las fuerzas aplicadas: Esta expresión es general y se aplica, por tanto, también al sólido rígido , si bien en este caso es posible obtener ecuaciones específicas, a partir de la anterior expresión, de mayor interés práctico. Es necesario recordar que, en la anterior relación, L y M han de ser tomados o bien con respecto a un punto fijo cualquiera de un sistema inercial o bien con respecto al centro de masas. Supongamos que el sólido rígido gira respecto de un eje principal que además posee un punto fijo en un sistema inercial. En la ecuación anterior, podemos sustituir X en función del momento de inercia I respecto al eje principal, L = I  ω : Como el momento de inercia I de un sólido rígido no cambia con el tiempo, se obtiene: Si un sólido rígido gira alrededor de un eje principal de inercia , el momento total de las fuerzas apl...

Los momentos de inercia de un cuerpo respecto a ejes paralelos están relacionados de una forma muy simple, mediante el teorema de Steiner . Éste nos dice que el momento de inercia I con relación a un eje cualquiera es igual al momento I CM respecto al eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masas más la masa total del sólido multiplicada por la distancia entre ambos ejes al cuadrado. Para demostrar este teorema, elijamos unos ejes como los de la ilustración. Es decir, consideremos un sistema de referencia X c Y c Z c que tenga por origen el centro de masas, que uno de sus ejes, Y c , sea paralelo al eje Y cuyo momento de inercia queremos calcular y que otro de sus ejes, X c , esté dirigido hacia el eje Y, cortándolo a una distancia d del origen. La distancia al cuadrado de un punto, de coordenadas (x, y, z), al eje Y c viene dada por: mientras que la distancia al cuadrado al eje Yes: Por tanto, el momento de inercia con respecto al eje Y será igual a...

Este teorema dice que, si tenemos una figura plana cualquiera, o suficientemente delgada, su momento de inercia con relación a cualquier eje perpendicular a ella es igual a la suma de los momentos de inercia de cualesquiera dos ejes que estén contenidos en el plano, sean ortogonales entre sí y se corten con el primer eje. Las condiciones del teorema nos aseguran que se trata de tres ejes mutuamente perpendiculares que podemos, por lo tanto, elegir como ejes de coordenadas. Si elegimos la notación de la ilustración, tendremos: en donde el subíndice en el momento de inercia denota con respecto a qué eje está considerado. En una figura plana, las coordenadas nos dan precisamente la distancia a los ejes. En cuanto a I x , tenemos que calcular la distancia de un punto genérico al eje X, lo que coincide con la distancia al origen: y el teorema queda demostrado. Ejemplo: Calcula el momento de inercia de un disco de masa m y radio R respecto a un eje que pase por su centr...

Cuando se tiene un sistema discreto de masas, el momento de inercia se calcula aplicando directamente su definición. Cuando se tiene un sólido supuestamente continuo, tenemos que pasar dicha definición a una expresión integral: En determinados casos se pueden tener en cuenta algunas consideraciones que reducen la dificultad del problema. Éstas son similares a las que se discutieron en el cálculo del centro de masas el post anterior, es decir, considerar la simetría del sólido y el carácter aditivo del momento de inercia: • La simetría del problema nos permite, a veces, poder realizar sólo una parte de los cálculos para la obtención final del momento de inercia. Para determinadas simetrías es conveniente usar sistemas de coordenadas específicos. • En cuanto al carácter aditivo del momento de inercia, se deduce directamente de su propia definición, pues se trata de una suma sobre todas las partículas. Así, si conocemos los momentos de inercia de las distintas partes q...

Al igual que para cualquier otro sistema de partículas, el momento angular de un sólido rígido es la suma vectorial de los momentos angulares de cada una de las partículas que lo forman. Se puede definir con respecto a un punto O cualquiera, si bien para el caso de la rotación de un sólido rígido es conveniente elegir dicho punto 0 en el eje de giro. El momento angular de cada partícula y, en general, el del sólido no tienen por qué señalar en la dirección del eje de giro. Dependen, además, del punto del eje con relación al cual se obtienen y no son fácilmente calculables. La magnitud que interesa obtener es la componente del momento angular en la dirección del eje. Llamemos Z a dicha dirección. El módulo del momento angular de la partícula i vale:  el módulo de la velocidad es v i = R i ω, siendo R i la distancia de la partícula al eje. La frecuencia angular no lleva subíndice, pues no depende de la partícula de que se trate. La componente de L i en la direcc...

El movimiento de traslación , gobernado por la ecuación de movimiento del centro de masas, depende únicamente del valor de las fuerzas externas y no de su punto de aplicación. El movimiento de rotación , sin embargo, sí que depende tanto de las fuerzas externas como de su punto de aplicación. La experiencia diaria nos confirma esto: cuanto más lejos del eje de giro de un objeto ejercemos una fuerza, más efectiva es ésta. Como veremos, la dinámica de rotación se describe en función del momento angular cuya variación depende del momento total M T de las fuerzas aplicadas. Éste es igual a: en donde r i es el punto de aplicación de la fuerza aplicada. Si existen diversas fuerzas aplicadas: • Su suma determina el movimiento de traslación. • La suma de sus momentos determina el movimiento de rotación. Para que un sólido esté en equilibrio, F T y M T han de ser igual a cero. En vez de describir la dinámica de rotación en función de los momentos de las fuerzas, se...

Los sólidos rígidos se definen como los sistemas de partículas que no cambian su forma en absoluto, bajo la acción de fuerzas externas. Para ello, las distancias entre sus partículas constituyentes han de permanecer constantes en todo tipo de movimiento. Las fuerzas atómicas entre sus partículas son tan intensas que las fuerzas externas que hacen que el sólido se mueva no son capaces de cambiar su forma. Un sólido rígido puede tener un movimiento de traslación , de rotación o mixto, es decir, de traslación y rotación simultáneas. En el movimiento de traslación, todos los puntos se mueven con la misma velocidad y describen, por lo tanto, trayectorias paralelas. La velocidad anterior será también igual a la del centro de masas. En lo relativo al movimiento de traslación, no podemos decir nada nuevo, aplicable exclusivamente a los sólidos rígidos. En el movimiento de rotación, por el contrario, se pueden desarrollar técnicas específicas para el sólido rígido de gran utilidad. ...