Ecuacion de movimiento de la rotacion de un solido rigido

En el post anterior encontramos la relación que existe entre el momento angular L de un sistema de partículas y el momento total M de las fuerzas aplicadas:

Esta expresión es general y se aplica, por tanto, también al sólido rígido, si bien en este caso es posible obtener ecuaciones específicas, a partir de la anterior expresión, de mayor interés práctico. Es necesario recordar que, en la anterior relación, L y M han de ser tomados o bien con respecto a un punto fijo cualquiera de un sistema inercial o bien con respecto al centro de masas.

Supongamos que el sólido rígido gira respecto de un eje principal que además posee un punto fijo en un sistema inercial. En la ecuación anterior, podemos sustituir X en función del momento de inercia I respecto al eje principal, L = I ω:

Como el momento de inercia I de un sólido rígido no cambia con el tiempo, se obtiene:

Si un sólido rígido gira alrededor de un eje principal de inercia, el momento total de las fuerzas aplicadas, respecto a un punto de dicho eje, es igual al momento de inercia respecto al eje por la aceleración angular.

Esta expresión es análoga a la segunda ley de Newton, pero para el movimiento de rotación. La aceleración angular α desempeña en el movimiento de rotación el papel de la aceleración lineal en el de traslación, y el momento de la fuerza el papel de la fuerza.

No obstante, es necesario observar que las ecuaciones del movimiento de rotación se deducen de las ecuaciones de Newton, que son el pilar de la teoría. Éstas se aplican a todos los casos y situaciones posibles, mientras que las ecuaciones de la rotación son más restrictivas, si bien en determinados supuestos pueden ser más útiles que las ecuaciones de carácter general.

SÍ M = 0, el momento angular se conserva y deducimos de la ecuación que ω ha de ser constante.

La velocidad angular de un sólido rígido que gira alrededor de un eje principal es constante siempre que el momento total de las fuerzas aplicadas sea nulo.

Este resultado es como la versión para el movimiento de rotación de la primera ley de Newton.

El resultado anterior se puede generalizar para el caso interesante de un objeto que cambia de forma (no es, por tanto, un sólido rígido), pero manteniendo un eje principal de inercia. Por ejemplo, una patinadora que gira sobre su eje y cambia la posición de sus brazos. La ecuación sigue siendo válida, si bien I ya no es constante. Cuando M = 0, se deduce:

En este caso, cuando el momento de inercia disminuye (porque, por ejemplo, la patinadora encoge los brazos), la velocidad angular aumenta, y viceversa.

Si el giro no es respecto a un eje principal, la ecuación L = I ω no es válida. Sólo conocemos la expresión de la componente z del momento angular, L_z = I ω, y lo único que podemos deducir es una relación para dicha componente:

Si el eje de giro no posee un punto fijo en un sistema inercial, hemos de utilizar la relación con respecto a un eje que pase por el centro de masas. En consecuencia, las ecuaciones se habrán de considerar con respecto a ejes que pasen por el centro de masas.

Ejemplo:

Un cilindro de 2 kg de masa y 10 cm de radio, que puede girar alrededor de su eje, tiene enrollada una cuerda desde la que tiramos con una fuerza de 10 N. ¿Con qué aceleración angular gira? Si el eje está en posición horizontal y en el extremo de la cuerda colgamos un peso de 10 kg de masa, ¿cuál es la aceleración lineal del peso? (Momento de inercia de un cilindro respecto a su eje de simetría I = 1/2 m_T R².)

Solución:

El momento de la fuerza aplicada es igual a M = FR. Como el eje del cilindro es un eje principal de inercia, podemos aplicar la ecuación:

Cuando colgamos el peso, la fuerza que se ejerce sobre la cuerda es F = mg - ma, siendo a la aceleración del peso. Ésta ha de ser igual a α R. La ecuación nos dice en este caso:

Despejando a, se obtiene: