Teorema de las figuras planas

Este teorema dice que, si tenemos una figura plana cualquiera, o suficientemente delgada, su momento de inercia con relación a cualquier eje perpendicular a ella es igual a la suma de los momentos de inercia de cualesquiera dos ejes que estén contenidos en el plano, sean ortogonales entre sí y se corten con el primer eje.

Las condiciones del teorema nos aseguran que se trata de tres ejes mutuamente perpendiculares que podemos, por lo tanto, elegir como ejes de coordenadas. Si elegimos la notación de la ilustración, tendremos:

en donde el subíndice en el momento de inercia denota con respecto a qué eje está considerado. En una figura plana, las coordenadas nos dan precisamente la distancia a los ejes. En cuanto a I_x, tenemos que calcular la distancia de un punto genérico al eje X, lo que coincide con la distancia al origen:

y el teorema queda demostrado.

Ejemplo:

Calcula el momento de inercia de un disco de masa m y radio R respecto a un eje que pase por su centro y esté contenido en él.

Solución:

Podemos utilizar el teorema de las figuras planas y el resultado de la aplicación anterior. Consideremos los ejes de la ilustración. Por simetría, I_y e I_z son iguales entre sí. I_x es el momento de inercia obtenido en la aplicación anterior. Así:

El momento de inercia que buscamos es igual a: