Cálculo de momentos de inercia

Cuando se tiene un sistema discreto de masas, el momento de inercia se calcula aplicando directamente su definición. Cuando se tiene un sólido supuestamente continuo, tenemos que pasar dicha definición a una expresión integral:

En determinados casos se pueden tener en cuenta algunas consideraciones que reducen la dificultad del problema. Éstas son similares a las que se discutieron en el cálculo del centro de masas el post anterior, es decir, considerar la simetría del sólido y el carácter aditivo del momento de inercia:

• La simetría del problema nos permite, a veces, poder realizar sólo una parte de los cálculos para la obtención final del momento de inercia. Para determinadas simetrías es conveniente usar sistemas de coordenadas específicos.

• En cuanto al carácter aditivo del momento de inercia, se deduce directamente de su propia definición, pues se trata de una suma sobre todas las partículas. Así, si conocemos los momentos de inercia de las distintas partes que forman un objeto, con respecto a un mismo eje, el momento total será la suma de los momentos de cada una de las partes.

Además de las dos simplificaciones generales anteriores, existen dos teoremas que permiten la obtención de momentos de inercia respecto a un eje en función de momentos de inercia respecto a otros ejes. Se trata de los teoremas de las figuras planas y de Steiner que veremos en los siguientes posts.

Ejemplo:

Calcula el momento de inercia de un anillo de masa m y radio R respecto al eje que pasa por su centro y es perpendicular al plano que lo contiene.

Solución:

El anillo se supone que es lineal. Su densidad lineal será:

Hemos de extender la expresión del momento de inercia al caso lineal:

La distancia de cualquier elemento del anillo al eje es igual a R, que por eso la hemos sacado fuera de la integral.