Momento angular de un sólido rígido

Al igual que para cualquier otro sistema de partículas, el momento angular de un sólido rígido es la suma vectorial de los momentos angulares de cada una de las partículas que lo forman. Se puede definir con respecto a un punto O cualquiera, si bien para el caso de la rotación de un sólido rígido es conveniente elegir dicho punto 0 en el eje de giro.

El momento angular de cada partícula y, en general, el del sólido no tienen por qué señalar en la dirección del eje de giro. Dependen, además, del punto del eje con relación al cual se obtienen y no son fácilmente calculables. La magnitud que interesa obtener es la componente del momento angular en la dirección del eje.

Llamemos Z a dicha dirección. El módulo del momento angular de la partícula i vale: 

el módulo de la velocidad es v_i = R_iω, siendo R_i la distancia de la partícula al eje. La frecuencia angular no lleva subíndice, pues no depende de la partícula de que se trate. La componente de L_i en la dirección del eje es:

θ_i es el ángulo que forma r_i con el eje de giro. 

La componente z del momento angular total es:

Al sumatorio anterior se le denomina momento de inercia I del sólido con respecto al eje de giro:

El momento de inercia de un sólido con respecto a un eje es igual a la suma de las masas de las partículas que lo constituyen multiplicadas por el cuadrado de sus distancias al eje.

El momento de inercia es un concepto fundamental en el estudio del movimiento de rotación de los sólidos rígidos. Su valor depende del eje de rotación.

El momento de inercia tiene unidades de masa por longitud al cuadrado.

Definimos el radio de giro R_g de un sólido con relación a un eje como la raíz cuadrada de su momento de inercia respecto a dicho eje dividido por su masa:

El momento de inercia de un sólido es el mismo que poseería una partícula puntual con la masa del sólido girando a una distancia del eje de giro igual al radio de giro.

Sustituyendo la definición de momento de inercia en la ecuación, tenemos:

La componente del momento angular según el eje de giro es igual al producto del momento de inercia respecto a dicho eje por la frecuencia angular de giro.

Existen ejes tales que, cuando un sólido rota respecto a alguno de ellos, su momento angular correspondiente L está dirigido según ese eje. A dichos ejes se les llama ejes principales de inercia y a los I correspondientes, momentos principales de inercia. Para los ejes principales, la relación última se convierte en una relación vectorial, pues L sólo tiene componente z:

Se puede demostrar, que en todo sólido existen al menos tres ejes principales de inercia mutuamente perpendiculares.

Cuando un sólido presenta un eje de simetría, entonces éste es un eje principal de inercia; y posee otros dos ejes principales perpendiculares a él. En un cilindro, por ejemplo, su eje es siempre un eje principal de inercia.

Se puede observar la analogía formal que existe entre la última expresión y la definición de momento lineal, p= m v. En la rotación, ω desempeña el papel de v en el movimiento de traslación, L el de p, y el momento de inercia el de la masa. La inercia a la traslación nos la da la masa; y esa misma inercia a la rotación nos la da el momento de inercia.

El hecho de que L no tenga por qué señalar en la dirección de ω posee implicaciones prácticas importantes. En el diseño de máquinas con elementos giratorios, es muy conveniente que éstos roten con relación a un eje principal de inercia. De lo contrario, la componente de L perpendicular al eje supone una vibración de la máquina. El equilibrado de las ruedas de un coche, por ejemplo, consiste en ajustar un eje principal de inercia de la rueda de forma que coincida con su eje de giro, para que, cuando vayamos a una cierta velocidad, la rueda no vibre.