Ley de Gauss

Un método muy potente para determinar el campo eléctrico, especialmente en situaciones con simetría, es el que hace uso de la ley de Gauss. Esta ley es similar a la obtenida para el campo gravitatorio. 

Consideremos primero el campo eléctrico producido por una sola carga. Éste decae con.la distancia como 1/r², o sea, de forma inversamente proporcional a como crece una superficie (como r²). Así, supongamos una cierta superficie esférica concéntrica con la carga y calculemos el flujo del campo eléctrico a través de dicha superficie. Recordemos que el flujo de E, Φ_E se define como la integral de superficie del producto escalar de E por el vector diferencial de superficie:

Como el campo es, en todo punto, perpendicular a la superficie esférica considerada y además su módulo es constante en toda ella, se tiene:

Este resultado es independiente del radio de la superficie esférica, por el motivo adelantado antes: al variar el radio de ésta, el campo E disminuye justo en la cantidad en que aumenta el área de la superficie.

Se puede demostrar, que el resultado anterior también es válido para cualquier superficie cerrada que englobe a la carga considerada. Si, por el contrario, la superficie no encierra a la carga, el flujo del campo eléctrico a través de ella es cero. Podemos entender estos resultados en términos de las líneas de fuerza. El flujo a través de una superficie es proporcional al número de líneas de fuerza que la atraviesan. Si la carga está en el interior de la superficie considerada, ésta es atravesada por el mismo número de líneas de fuerza, que salen de la carga, independientemente de cuál sea su forma o tamaño. Si la carga está fuera de la superficie, las líneas de fuerza que entran en ella salen después y el flujo neto es cero.

Si tenemos un número arbitrario de cargas, partiendo de los resultados anteriores deducimos que el flujo de Ea través de una superficie cerrada depende únicamente de las cargas en su interior.

Así, la ley de Gauss nos dice lo siguiente:

El flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total incluida en su interior dividida por ε₀.

El hecho de que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada tenga una expresión tan simple es consecuencia del carácter central del campo y de que éste varíe como 1/r²

Aplicación de la ley de Gauss a problemas con simetría

A continuación vamos a utilizar la ley de Gauss para encontrar el campo eléctrico en distintas situaciones con un alto grado de simetría.

Distribución esférica de carga

Empecemos considerando el caso de simetría esférica. En este caso existe un centro de simetría tal que la densidad de carga depende únicamente de su distancia a aquél, ρ(r). Conviene aplicar la ley de Gauss a una superficie esférica concéntrica con el centro de simetría, pues el campo eléctrico en su superficie es normal a ella y constante en módulo, como aparece en la ilustración y como se deduce por simples consideraciones de simetría. El flujo a través de dicha superficie es igual a su área, 4xR², por el módulo del campo eléctrico en ella. Teniendo en cuenta esto, la ley de Gauss nos dice:

Deducimos que el módulo del campo eléctrico a una distancia R del centro de simetría es igual a:

en donde Q_int es la carga en el interior de la esfera considerada:

Hilo uniformemente cargado

En segundo lugar, consideraremos el caso de simetría cilindrica, en el que existe un eje de simetría. Estudiaremos, en concreto, el caso en que la carga está concentrada en un hilo rectilíneo que podemos suponer infinito, con densidad lineal p_l. La superficie que interesa considerar es un cilindro, de radio R y longitud l, cuyo eje sea el de simetría. El campo eléctrico será perpendicular a su superficie lateral y en ella su módulo será constante, por simetría. Calculemos el flujo a través de dicho cilindro. Las dos bases no contribuirán al flujo por ser el campo eléctrico paralelo a ellas. El flujo a través de la superficie lateral es igual a su área, 2πRl,, por el módulo del campo eléctrico en ella. La carga en el interior del cilindro es igual a la densidad lineal por la longitud de éste, p_l. La ley de Gauss nos dice entonces que el módulo del campo eléctrico está dado por:

Plano uniformemente cargado

Estudiaremos, por último, el campo producido por un plano infinito uniformemente cargado, con una densidad superficial de carga p_s. Por simetría sabemos que el campo eléctrico E habrá de ser perpendicular al plano, pues de lo contrario habría una dirección privilegiada. El sentido de atendrá que ser opuesto en puntos simétricos respecto del plano, pero situados en mitades del espacio distintas. También sabemos que E habrá de ser el mismo en todos los puntos equidistantes del plano, debido a la simetría traslacional del problema. Teniendo en cuenta lo anterior, pasemos a aplicar la ley de Gauss a un cilindro con su eje perpendicular al plano, tal como se representa en la ilustración. El flujo a través de la superficie lateral del cilindro es cero, ya que en toda ella el campo es paralelo a la misma. En las bases, por el contrario, el campo es perpendicular a ellas y de módulo constante, y su contribución al flujo es IES, siendo S el área de cada una de las bases. El factor 2 se debe a que hay dos bases. La carga total incluida dentro del cilindro es igual a Sp_s. Así pues, se llega a:

El campo eléctrico resultante no depende de la distancia al plano. Si la densidad de carga es positiva, el campo está dirigido hacia fuera, y si es negativa, hacia dentro.