Variación del momento angular

Vamos a estudiar en este post cómo varía el momento angular de una partícula a lo largo de la trayectoria, en función de las fuerzas que sobre aquélla actúen. Para ello, tomemos la derivada respecto al tiempo del momento angular:

en donde hemos usado las definiciones de v y F. Como v y p siempre poseen la misma dirección, v x p = 0. 

Definimos el momento de una fuerza M con respecto a un punto O como:

en donde r es, de nuevo, el vector que va del punto O al de aplicación de la fuerza, es decir, a la posición de la partícula. El momento de la fuerza en función de las componentes de r y F vale:

Teniendo en cuenta la definición anterior, llegamos a la siguiente ecuación para la variación de L:

La derivada temporal del momento angular es igual al momento de la fuerza.

En la ecuación anterior, los orígenes elegidos para calcular los momentos angular L y de la fuerza M han de coincidir.

La ecuación anterior es consecuencia directa de las leyes de Newton y no constituye una ley independiente de la dinámica. Aunque tiene una validez general, aplicándose a todo movimiento, su importancia es fundamental en el estudio de las rotaciones.

Si F = 0, el momento M es igual a cero y, por lo tanto, L es constante, lo que constituye el teorema de conservación del momento angular:

El momento angular de toda partícula libre, no sometida a una fuerza neta, se conserva.

Ejemplo 1:

Calcula el momento angular de un cuerpo que describe una trayectoria parabólica, debida a la fuerza de la gravedad, y el momento de dicha fuerza. Comprueba que se verifica la ecuación de la derivada temporal del momento angular.

Solución:

Calcularemos L respecto al punto inicial de la trayectoria.

Tenemos:

El momento de la fuerza respecto al mismo punto es:

La derivada de L vale:

de forma que se verifica la relación.