Vector de posición, trayectoria y desplazamiento

Supongamos que el cuerpo cuyo movimiento deseamos estudiar puede representarse por un punto en el espacio. A dicho objeto lo llamaremos punto material. También usaremos el término partícula para referirnos, en este contexto, a un objeto representable espacialmente por un punto.

Para describir el movimiento de un punto material hemos de conocer su posición en cada instante. Ambos conceptos, movimiento y posición, son, sin embargo, relativos. Dependen de con respecto a qué se miden. Una casa, por ejemplo, se halla en reposo con respecto a la Tierra, pero en movimiento con respecto a un tren que pase por las cercanías o con respecto al Sol. Para que no haya ambigüedad, es necesario considerar la posición del punto con respecto a algo. Ese algo es lo que denominamos sistema de referencia.

Un sistema de referencia es un conjunto bien definido de un origen y de tres ejes perpendiculares entre sí y que pasan por aquél.

Para la descripción completa de un movimiento, el observador ha de especificar en qué sistema de referencia se realiza la medida.

Así, elijamos un sistema de referencia y analicemos el movimiento de un punto material con respecto al origen de nuestro sistema de referencia. La posición del punto P queda determinada conociendo, en cada instante, el vector r que va desde O hasta P, tal como se muestra en la ilustración. Al vector r se le denomina vector de posición.

El vector de posición r vendrá dado en función de sus coordenadas, con respecto a los ejes de nuestro sistema de referencia, por:

siendo i, j y k los vectores unitarios en la dirección de los ejes.

Conocer el vector de posición r en cada instante es, por tanto, equivalente a conocer sus tres coordenadas x, y, z como funciones del tiempo. Ellas nos dan toda la información requerida sobre la situación de la partícula.

Las componentes del vector de posición se miden en el Sistema Internacional de Unidades en metros (m).

Si consideramos el vector de posición en diferentes instantes de tiempo, su extremo va describiendo una curva en el espacio. Esta curva es la trayectoria, y está constituida por los puntos por donde pasa la partícula durante el movimiento.

La ecuación de la trayectoria es una relación que nos da una de las coordenadas de la posición del punto en función del resto de las coordenadas.

Si consideramos dos instantes t₁ y t₂, de forma que el vector de posición sea r₁ y r₂, respectivamente, definimos el desplazamiento del móvil en ese intervalo de tiempo como el siguiente vector:

Expresemos cada uno de los vectores de posición en términos de sus componentes:

Las componentes del desplazamiento son iguales a las diferencias de las componentes de ambos vectores:

El desplazamiento es un vector que va desde la posición del móvil en el instante inicial t₁ hasta su posición en el instante final t₂, como se ve en la ilustración. El módulo del desplazamiento no coincide con la longitud recorrida por el móvil sobre la trayectoria, salvo cuando ésta es una línea recta y el movimiento tiene lugar sin cambiar de sentido.